Vida e obra de Isaac Newton

Newton

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Colégio da Policia Militar

Data 10/11/2003

Professor Alexnaldo           Disciplina  Física

Aluna Paloma Regis     n° 6728

Série  3° ano Turma D

 

 

TRABALHO DE FISICA
 


 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Isaac Newton

 

A vida de Newton pode ser dividida em três períodos. O primeiro sua juventude de 1643 até sua graduação em 1669. O segundo de 1669 a 1687, foi o período altamente produtivo em que ele era professor Lucasiano em Cambridge. O terceiro período viu Newton como um funcionário do governo bem pago em Londres, com muito pouco interesse pela matemática.

Isaac Newton nasceu em 4 de janeiro de 1643 (ano da morte de Galileo) em Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra. Embora tenha nascido no dia de Natal de 1642, a data dada aqui é no calendário Gregoriano, que adotamos hoje, mas que só foi adotada na Inglaterra em 1752. Newton veio de uma família de agricultores, mas seu pai morreu antes de seu nascimento. Ele foi criado por sua avó. Um tio o enviou para o Trinity College, Cambridge, em Junho de 1661.

O objetivo inicial de Newton em Cambridge era o direito. Em Cambridge ele estudou a filosofia de Aristóteles (384aC-322ac), Descartes (René Descartes, 1596-1650), Gassendi (Pierre Gassendi, 1592-1655), e Boyle (Robert Boyle, 1627-1691), a nova álgebra e geometria analítica de Viète (François Viète 1540-1603), Descartes, e Wallis (John Wallis, 1616-1703); a mecânica da astronomia de Copérnico e Galileo, e a ótica de Kepler o atraíram. O talento de Newton emergiu com a chegada de Isaac Barrow (1630-1677), para a cadeira Lucasiana de matemática em Cambridge.

Seu gênio científico despertou quando uma epidemia de peste fechou a Universidade no verão de 1665, e ele retornou a Lincolnshire. Só em Londres, a peste vitimou mais 70.000 pessoas. Lá, em um período de menos de dois anos, Newton que ainda não tinha completado 25 anos, iniciou a revolução da matemática, óptica, física e astronomia.

Durante sua estada em casa, ele lançou a base do cálculo diferencial e integral, muitos anos antes de sua descoberta independente por Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646-1716). O "método dos fluxions", como ele o chamava, estava baseado na descoberta crucial de que a integração de uma função é meramente o procedimento inverso da diferenciação. Seu livro De Methodis Serierum et Fluxionum foi escrito em 1671, mas só foi publicado quando John Colson o traduziu para o inglês em 1736.

Com a saída de Barrow da cadeira Lucasiana em 1669, Newton, com apenas 27 anos, foi nomeado para sua posição, por indicação do anterior, por seus trabalhos em cálculo integral, onde Newton havia feito progresso em um método geral de calcular a área delimitada por cum curva.

O primeiro trabalho de Newton como professor Lucasiano foi em óptica. Ele havia concluído durante os dois anos de peste que a luz branca não é um entidade simples, como acreditavam todos desde Aristóteles. Embora o fato de que a luz solar produz várias cores ao passar por um prisma fosse conhecido, Giambattista della Porta, em seu De Refracione, publicado em Nápoles em 1558, usava a concepção de Aristóteles para dizer que as cores apareciam por modificação da luz. A aberração cromática (anéis coloridos em volta da imagem) de uma lente de telescópio convenceu Newton do contrário. Quando ele passava um feixe de luz solar por um prisma de vidro, um espectro de cores se formava, mas ao passar a luz azul por um segundo prisma, sua cor não mudava.

Newton argumentou que a luz branca era na verdade uma mistura de diferentes tipos de raios que eram refratados em ângulos ligeiramente diferentes, e que cada tipo de raio diferente produz uma cor espectral diferente. Newton concluiu, erroneamente, que telescópios usando lentes refratoras sofreriam sempre de aberração cromática. Ele então propôs e construiu um telescópio refletor, com 15 cm de comprimento.

Telescopio

Newton colocou um espelho plano no tubo, a 45°, refletindo a imagem para uma ocular colocada no lado. O telescópio de Newton gerava imagens nove vezes maior do que um refrator quatro vezes mais longo. Os espelhos esféricos construídos naquela época produziam imagens imperfeitas, com aberração esférica.

Newton foi eleito membro da Sociedade Real em 1672 após doar um telescópio refletor. Ainda em 1672, Newton publicou seu primeiro trabalho científico sobre luz e cor, no Philosophical Transactions of the Royal Society .

Seu livro Opticks só foi publicado em 1704, tratando da teoria da luz e cor e com (i) investigações da cor em folhas finas (ii) anéis de interferência de Newton e (iii) difração da luz.

Opticks

Seu trabalho mais importante foi em mecânica celeste, que culminou com a Teoria da Gravitação Universal. Em 1666 Newton tinha versões preliminares de suas tres leis do movimento. Ele descobriu a lei da força centrípeta sobre um corpo em órbita circular.

O cometa brilhante que apareceu em 1664 foi observado por Adrien Auzout no Observatoire de Paris, Christian Huygens (1629-1695) na Holanda, Johannes Hevelius em Danzig, e Robert Hooke na Inglaterra. Qual seria sua órbita? Tycho Brahe tinha suporto circular, Kepler dizia que era em linha reta, com a curvatura devido à órbita da Terra, mas as observações indicavam que a órbita fosse intrinsecamente curva, e Johannes Hevelius propôs que fosse elíptica. Em 1665 o francês Pierre Petit, em seu Dissertação sobre a Natureza dos Cometas propôs pela primeira vez que suas órbitas fossem fechadas, e que os cometas de 1618 e 1664 poderiam ser o mesmo cometa. Vinte anos mais tarde Halley especulou sobre o problema da gravitação em relação aos cometas. Sem conseguir resolver o problema, em agosto de 1684 ele propôs o problema a Newton. Newton disse que já havia resolvido o problema muitos anos antes, e que todos os movimentos no sistema solar poderiam ser explicados pela lei da gravitação. Um cometa na constelação de Virgem em 1680 tinha uma órbita claramente curva. Em 1682 um cometa ainda mais brilhante, que mais tarde levaria o nome de Halley, pode ter sua órbita bem determinada, confirmando o pensamento de Newton.

A idéia genial de Newton em 1666 foi imaginar que a atração gravitacional da Terra era contrabalança pela força centrípeta da Lua. Com sua lei para a força centrípeta e a terceira Lei de Kepler, Newton deduziu a lei da atração gravitacional.

Em 1679 Newton provou que a Lei das Áreas de Kepler é uma conseqüência da força centrípeta, e também que a órbita é uma elipse, para um corpo sob uma força central em que a dependência radial varia com o inverso do quadrado da distância ao centro.

Halley persuadiu Newton a escrever um trabalho completo sobre sua nova física e sua aplicação à astronomia, e em menos de 2 anos Newton tinha escrito os dois primeiros volumes do Principia, com suas leis gerais, mas também com aplicações a colisões, o pêndulo, projéteis, frição do ar, hidrostática e propagação de ondas. Somente depois, no terceiro volume, Newton aplicou suas leis ao movimento dos corpos celestes. Em 1687 é publicado o Philosophiae naturalis principia mathematica ou Principia, como é conhecido.

Principia

O Principia é reconhecido como o livro científico mais importante escrito. Newton analisou o movimento dos corpos em meios resistentes e não resistentes sob a ação de forças centrípetas. Os resultados eram aplicados a corpos em órbita, e queda-livre perto da Terra. Ele também demonstra que os planetas são atraídos pelo Sol pela Lei da Gravitação Universal, e generalizou que todos os corpos celestes atraem-se mutuamente.

Newton explicou uma ampla gama de fenônemos até então não correlatos: a órbita excêntrica dos cometas; as marés e suas variações; a precessão do eixo da Terra; e o movimento da Lua perturbado pela gravidade do Sol.

Newton já explicava que o movimento de três corpos sob uma força central só pode ser resolvido por aproximação, que a Lei da Gravitação Universal trata os corpos como pontos, e que os planetas não são pontos, nem ao menos esféricos, que o movimento das marés introduz perturbações no cálculo das órbitas, que precisam ser calculadas por aproximações.

Depois de sofrer um colapso nervoso em 1693, Newton abandonou a pesquisa para uma posição no governo em Londres, tornando-se Guardião da Casa da Moeda Real (1696) e Mestre(1699).

Em 1703 foi eleito presidente da Sociedade real, e foi re-eleito a cada ano até sua morte. Foi agraciado com o título de cavalheiro (Sir) em 1708 pela Rainha Anne, o primeiro cientista a receber esta honra.

Morreu em 31 de março de 1727 em Londres, Inglaterra.

Referência: Jean-Pierre Maury, Newton, the Father of Modern Astronomy, 1992, Harry N. Abrans, Inc. editor.

 

 

 

 

Isaac Newton

Newton

 

 

 

Estudando o movimento dos corpos, Galileo Galilei (1564-1642) descobriu através de experimentos que "um corpo que se move, continuará em movimento a menos que uma força seja aplicada e que o force a parar." Galileo argumentou que o movimento é tão natural quanto o repouso, isto é, um corpo que está em repouso permanece em repouso a menos que seja submetido a uma força que o faça mover-se. Se um objeto já está se movimentando, ele continuará em movimento a menos que seja submetido a uma força que o faça parar.

Galileo descobriu os satélites de Júpiter e comunicou seus dados a Kepler, que os observou pessoalmente. Os satélites obedecem às Três Leis de Kepler, porém com um valor da constante k diferente na 3a Lei (P2=k a3).

Sessenta anos depois, o inglês Isaac Newton (1643-1727) foi quem deu uma explicação completa ao movimento e à forma como as forças atuam. A descrição está contida nas suas 3 leis:

Primeira Lei: Inércia, é baseada na enunciada por Galileo, embora Galileo não tenha realmente chegado ao conceito de inércia. Em ausência de forças externas, um objeto em repouso permanece em repouso, e um objeto em movimento permanece em movimento, ficando em movimento retilíneo e com velocidade constante. Esta propriedade do corpo que resiste à mudança, chama-se inércia. A medida da inércia de um corpo é seu momentum. Newton definiu o momentum de um objeto como sendo proporcional à sua velocidade. A constante de proporcionalidade, que é a sua propriedade que resiste à mudança, é a sua massa:


displaymath103

Segunda Lei: Lei da Força, relaciona a mudança de velocidade do objeto com a força aplicada sobre ele. A força líquida aplicada a um objeto é igual à massa do objeto vezes a aceleração causada ao corpo por esta força. A aceleração é na mesma direção da força.


displaymath104

Terceira Lei: Ação e Reação, estabelece que se o objeto exerce uma força sobre outro objeto, este outro exerce uma força igual e contrária.

Newton pôde explicar o movimento dos planetas em torno do Sol, assumindo a hipótese de uma força dirigida ao Sol, que produz uma aceleração que força a velocidade do planeta a mudar de direção continuamente. Como foi que Newton descobriu a Lei da Gravitação Universal? Considerando o movimento da Lua em torno da Terra e as leis de Kepler.

Aceleração em órbitas circulares: o holandês Christiaan Huygens (1629-1695), em 1673 e, independentemente, Newton, em 1665 (mas publicado apenas em 1687, no Principia), descreveram a aceleração centrípeta.

acel

Consideremos uma partícula que se move em um círculo. No instante t a partícula está em D, com velocidade tex2html_wrap_inline143na direção DE. Pela 1a. lei de Newton, se não existe uma força agindo sobre o corpo, ele continuará em movimento na direção DE. Após tex2html_wrap_inline145, a partícula está em G, e percorreu a distância tex2html_wrap_inline147, e está com velocidade tex2html_wrap_inline149, de mesmo módulo v, mas em outra direção. Na figura:

Deltat = dt

Deltav = dv

Seja tex2html_wrap_inline151o ângulo entre o ponto D e o ponto G. tex2html_wrap_inline151também é o ângulo entre tex2html_wrap_inline143e tex2html_wrap_inline149:
displaymath159
e portanto a aceleração:
displaymath161

Se a partícula tem massa m, a força central necessária para produzir a aceleração é:
displaymath105

Claramente a dedução é válida se tex2html_wrap_inline163e tex2html_wrap_inline145são extremamente pequenos e é um exemplo da aplicação do cálculo diferencial, que foi desenvolvido pela primeira vez por Newton.

Gravitação Universal

Obviamente a Terra exerce uma atração sobre os objetos que estão sobre sua superfície. Newton se deu conta de que esta força se estendia até a Lua e produzia a aceleração centrípeta necessária para manter a Lua em órbita. O mesmo acontece com o Sol e os planetas. Então Newton levantou a hipótese da existência de uma força de atração universal entre os corpos em qualquer parte do Universo.

A força centrípeta que o Sol exerce sobre um planeta de massa m, que se move com velocidade v à uma distância r do Sol, é dada por:
displaymath105                                                       (Fc)

Assumindo neste instante uma órbita circular, que mais tarde será generalizada para qualquer tipo de órbita, o período P do planeta é dado por:
displaymath107
Pela 3a Lei de Kepler,
displaymath108
onde a constante k depende das unidades de P e r. Temos então que

displaymath109

Seja m a massa do planeta e M a massa do Sol. Substituindo-se esta velocidade na expressão da força centrípeta exercida pelo Sol (Fc) no planeta, a força pode então ser escrita como:
displaymath110
e, de acordo com a 3a. lei de Newton, o planeta exerce uma força igual e contrária sobre o Sol. A força centrípeta exercida pelo planeta sobre o Sol, de massa M é dada por:
displaymath111
Newton deduziu então que:

displaymath112

onde G é uma constante de proporcionalidade. Tanto o Sol quanto o planeta que se move em torno dele experimentam a mesma força, mas o Sol permanece aproximadamente no centro do Sistema Solar porque a massa do Sol é aproximadamente mil vezes maior que a massa de todos os planetas somados.

Newton então concluiu que para que a atração universal seja correta, deve existir uma força atrativa entre pares de objetos em qualquer região do universo, e esta força deve ser proporcional a suas massas e inversamente proporcional ao quadrado de suas distâncias. A constante de proporcionalidade G depende das unidades das massas e da distância.

Derivação da "Constante" k

centro de massa

Suponha que dois corpos de tex2html_wrap_inline171e tex2html_wrap_inline173separados do centro de massa por tex2html_wrap_inline175e tex2html_wrap_inline177.

A atração gravitacional é dada por:
displaymath113
e a aceleração centrípeta por:
displaymath114
e
displaymath115

Como:


displaymath116
e o mesmo para tex2html_wrap_inline173,
displaymath117
e
displaymath118

Eliminando-se tex2html_wrap_inline171na primeira e tex2html_wrap_inline173na segunda e somando-se, obtemos:

displaymath119
ou:

displaymath120

Identificando-se a=(r1+r2), obtemos:

$ {K = \frac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)}}$

(1)


Isso nos diz que a "constante" K, definida como a razão $ \frac{P^2}{a^3}$, só é constante realmente se $ (m_1+m_2)$permanece constante. Isso é o que acontece no caso dos planetas do sistema solar: como todos têm massa muito menor do que a massa do Sol, a soma da massa do Sol com a massa do planeta é sempre aproximadamente a mesma, independente do planeta. Por essa razão Kepler, ao formular sua 3a lei, não percebeu a dependência com a massa.

Mas, se considerarmos sistemas onde os corpos principais são diferentes, então as razões $ \frac{P^2}{a^3}$serão diferentes. Por exemplo, todos os satélites de Júpiter têm praticamente a mesma razão $ \frac{P^2}{a^3} = K_J$, que portanto podemos considerar constante entre elas, mas essa constante é diferente da razão $ \frac{P^2}{a^3}= K_\odot$comum aos planetas do sistema solar. Para estabelecermos a igualdade temos que introduzir a massa:

$ (M_\odot+m_p){\left(\frac{{P}^2}{{a}^3}\right)}_\odot = (M_J+m_s){\left(\frac{{P}^2}{{a}^3}\right)}_J = constante$

ou, considerando as massas dos planetas desprezáveis frente à massa do Sol, e as massas dos satélites desprezáveis frente à massa de Júpiter, e representando a razão $ \frac{P^2}{a^3}$pela letra K, temos:

$ M_\odot{K}_\odot = M_J K_J = constante$

Generalizando para quaisquer sistemas, podemos escrever:

$ M_1K_1 = M_2K_2 = .... = M_nK_n = constante$

onde $ K_n$é a razão entre o quadrado do período e o cubo do semi-eixo maior da órbita para os corpos do sistema de massa $ M_n$.

Pela equação (1) sabemos que o valor dessa constante é $ \frac{4\pi^2}{G}$, e temos então:

$ M_1K_1 = M_2K_2 = .... = M_n K_n = \frac{4\pi^2}{G}$

Existem casos de sistemas gravitacionais em que não podemos desprezar a massa de nenhum corpo frente à do outro, como, por exemplo, muitos sistemas binários de estrelas.

Nesses casos, é mais correto escrever:

$ (M+m)_1K_1 = (M+m)_2K_2 = .... = (M+m)_n K_n = \frac{4\pi^2}{G}$

(2)


$ {(M + m) = \frac{4\pi^2}{G}\frac{a^3}{P^2}}$

(3)


Determinação de massas

A terceira lei de Kepler na forma derivada por Newton pode se escrita como:

$ {(M + m) = \frac{4\pi^2}{G}\,\frac{a^3}{P^2}}$

(4)


que nada mais é do que a última parte da equação (2), onde foi substituído $ K$por $ \frac{{P}^2}{{a}^3}$.

No sistema internacional de unidades, $ G = 6,67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/{kg^2}}$. Mas, em astronomia, muitas vezes é mais conveniente adotar outras unidades que não as do sistema internacional. Por exemplo, em se tratando de sistemas nos quais o corpo maior é uma estrela, costuma-se determinar suas massas em unidades de massa do Sol, ou massas solares (massa do Sol = $ M_\odot$), seus períodos em anos e suas distâncias entre si em unidades astronômicas. Em sistemas em que o corpo maior é um planeta, é mais conveniente expressar sua massa em unidades de massas da Terra (massa da Terra = $ M_\oplus$), seu período em meses siderais e suas distâncias relativas em termos da distância entre Terra e Lua. Em ambos os sistemas o valor de G é igual a $ 4 \pi^2$, e a terceira lei de Kepler fica:

$ M + m = \frac{a^3}{P^2}$

a qual é especialmente útil para a determinação de massas de corpos astronômicos. Note que esta fórmula só pode ser aplicada assim nestas unidades:

  1. massas em massas solares, período em anos e a em Unidades Astronômicas
  2. massas em massas terrestres, período em meses siderais (27,33 dias) e a em distância Terra-Lua

Por exemplo, se se observa o período orbital e a distância de um satélite a seu planeta, pode-se calcular a massa combinada do planeta e do satélite, em massas solares ou massas terrestres. Como a massa do satélite é muito pequena comparada com a massa do planeta, a massa calculada $ (m + M)$é essencialmente a massa do planeta $ (M)$.

Da mesma forma, observando-se o tamanho da órbita de uma estrela dupla, e o seu período orbital, pode-se deduzir as massas das estrelas no sistema binário. De fato, pode-se usar a terceira lei de Kepler na forma revisada por Newton para estimar a massa de nossa Galáxia e de outras galáxias.

Exemplos de uso da 3a lei de Kepler

Exemplo 1:

Deimos, o menor dos 2 satélites de Marte, tem período sideral de 1,262 dias e uma distância média ao centro de Marte de 23500 km. Qual a massa de Marte?

Podemos resolver este problema de diversas maneiras. Aqui vamos mostrar algumas delas.

  1. Calculando a massa de Marte diretamente em massas terrestres. (Vamos usar a notação: Marte = Ma; Deimos = D; Terra = $ \oplus$e Lua = L).
    1. Uma maneira de resolver o problema é comparando os parâmetros da órbita de Deimos em torno de Marte com os parâmetros da órbita da Lua em torno da Terra, sem introduzir o valor da constante.

Desprezando a massa de Deimos e da Lua frente às massas de seus respectivos planetas, podemos escrever:

MMaKMa = M$ \oplus$K$ \oplus$

sendo KMa = (PD)2/(aD)3

e K$ \oplus$ = (PL)2/(aL)3

Então:

$ {\frac{{M_{Ma}}}{{M_{\oplus}}}}$= $ {\frac{{{(P_{L})}^2 /{(a_{L})^3}}}{{ {(P_{D})}^2/({a_D)}^3}}}$= $ \left(\vphantom{\frac{P_L}{P_D}}\right.$$ {\frac{{P_L}}{{P_D}}}$$ \left.\vphantom{\frac{P_L}{P_D}}\right)^{{2}}_{{}}$$ \left(\vphantom{\frac{a_D}{a_L}}\right.$$ {\frac{{a_D}}{{a_L}}}$$ \left.\vphantom{\frac{a_D}{a_L}}\right)^{{3}}_{{}}$

Sabendo que:

PL = 27, 32 dias

PD = 1, 262 dias

aL = 384 000 km

aD = 23 500 km

Temos:

$ {\frac{{M_{Ma}}}{{M_{\oplus}}}}$= $ \left(\vphantom{\frac{27,32\, {dias}}{1,262\,{dias}}}\right.$$ {\frac{{27,32\, {dias}}}{{1,262\,{dias}}}}$$ \left.\vphantom{\frac{27,32\, {dias}}{1,262\,{dias}}}\right)^{{2}}_{{}}$$ \left(\vphantom{\frac{23500\, {km}}{384000\,{km}}}\right.$$ {\frac{{23500\, {km}}}{{384000\,{km}}}}$$ \left.\vphantom{\frac{23500\, {km}}{384000\,{km}}}\right)^{{3}}_{{}}$= 0, 1

$ { M_{Ma} = 0,1\, M_{\oplus}}$

    1. Podemos chegar ao mesmo resultado usando a expressão formal da 3.a lei de Kepler (equação 1.3), escrevendo as distâncias em termos da distância Terra-Lua, as massas em massas terrestres, e os períodos em termos do período da Lua, ou seja, usando o sistema de unidades [distância T-L (dTL), massa terrestre (M$ \oplus$), mês sideral ( mes)]:

MMa + mD $ \simeq$MMa = $ {\frac{{4 \pi^2}}{{G}}}$$ {\frac{{{({a_D})}^3}}{{{({P_D})}^2}}}$

Fazendo as transformações de unidades:

PD = (1, 262/27, 32) meses = 4, 62×10-2 meses

aD = (23500/384000) dTL = 6, 1×10-2 dTL

G = 4$ \pi^{2}_{}$ (dTL)3/(M$ \oplus$ meses2) $ \Longrightarrow$$ {\frac{{4 \pi^2}}{{G}}}$= 1 (M$ \oplus$ meses2)/(dTL)3

Temos:

MMa = $ {\frac{{{\left({6,1 \times 10^{-2}}\right)}^3}}{{{\left({4,62 \times 10^{-2}}\right)}^2}}}$M$ \oplus$ $ \Longrightarrow$$ {M_{Ma} = 0,1\, M_\oplus}$

2.      Calculando diretamente a massa de Marte em massas solares (M$ \odot$).

    1. Comparando o movimento de Deimos em torno de Marte com o movimento da Terra em torno do Sol:

MMaKMa = M$ \odot$K$ \odot$

onde K$ \odot$ = (P$ \oplus$)2/(a$ \oplus$)3

e KMa = (PD)2/(aD)3

Então:

$ {\frac{{M_{Ma}}}{{M_{\odot}}}}$= $ {\frac{{{(P_{\oplus})}^2 /{(a_{\oplus})^3}}}{{ {(P_{D})}^2/({a_D)}^3}}}$= $ \left(\vphantom{\frac{P_\oplus}{P_D}}\right.$$ {\frac{{P_\oplus}}{{P_D}}}$$ \left.\vphantom{\frac{P_\oplus}{P_D}}\right)^{{2}}_{{}}$$ \left(\vphantom{\frac{a_D}{a_\oplus}}\right.$$ {\frac{{a_D}}{{a_\oplus}}}$$ \left.\vphantom{\frac{a_D}{a_\oplus}}\right)^{{3}}_{{}}$

Sabendo que:

P$ \oplus$ = 365, 25 dias

PD = 1, 262 dias

a$ \oplus$ = 1, 5×108 km = 1 UA

aD = 2, 35×104 km

Temos:

$ {\frac{{M_{Ma}}}{{M_{\odot}}}}$= $ \left(\vphantom{\frac{365,25\,{dias}}{1,262\,{dias}}}\right.$$ {\frac{{365,25\,{dias}}}{{1,262\,{dias}}}}$$ \left.\vphantom{\frac{365,25\,{dias}}{1,262\,{dias}}}\right)^{{2}}_{{}}$$ \left(\vphantom{\frac{2,35\times 10^4\,{km}}{1,5\times 10^8\, {km}}}\right.$$ {\frac{{2,35\times 10^4\,{km}}}{{1,5\times 10^8\, {km}}}}$$ \left.\vphantom{\frac{2,35\times 10^4\,{km}}{1,5\times 10^8\, {km}}}\right)^{{3}}_{{}}$= 3, 2×10-7

$ { M_{Ma} = 3,2\times 10^{-7}\, M_\odot}$

    1. Usando a equação 1.3 e adotando o sistema de unidades [UA, M$ \odot$, ano].

MMa + mD $ \simeq$MMa = $ {\frac{{4 \pi^2}}{{G}}}$$ {\frac{{{a_{D}}^3}}{{{{P_D}^2}}}}$

Fazendo a transformação de unidades:

PD = (1, 262/365, 25) anos = 3, 46×10-3 anos

aD = (2, 35×104/1, 5×108) UA = 1, 57×10-4 UA

G = 4$ \pi^{2}_{}$ UA3/(M$ \odot$ ano2) $ \Longrightarrow$4$ \pi^{2}_{}$/G = 1 (M$ \odot$ ano2)/UA3

Temos:

MMa = $ {\frac{{{(1,57 \times 10^{-4})}^3}}{{{(3,46\times 10^{-3})^2}}}}$M$ \odot$ $ \Longrightarrow$$ {M_{Ma}= 3,2 \times 10^{-7} M_\odot}$

  1. Calculando diretamente a massa de Marte em quilogramas, ou seja, usando os sistema internacional [m, kg, s]

MMa + mD $ \simeq$MMa = $ {\frac{{4 \pi^2}}{{G}}}$$ {\frac{{{({a_D})}^3}}{{{({P_D})}^2}}}$

Escrevendo todos os dados em unidades do sistema internacional:

PD = 1, 262 dias = 1, 09×105 s

aD = 23 500 km = 2, 35×105 m

G = 6, 67×10-11 m3/(kg s2)

Temos:

MMa = $ {\frac{{4 \pi^2}}{{6,67 \times 10^{-11}}}}$ $ {\frac{{kg\,s^2}}{{m^3}}}$$ {\frac{{{(2,35 \times 10^5 m)}^3}}{{{(1,09 \times 10^5 s) }^2}}}$

$ {M_{Ma} = 6,4 \times 10^{23} \,{kg}}$

Exemplo 2

Qual é a massa do Sol? Sabemos que a Terra órbita o Sol em 1 ano. Podemos usar a relação

P2 = {\frac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)}}$(r1 + r2)3

e lembrar que a = r1 + r2 = 1 UA = 1,5 ×1011 m. Reescrevendo:

(m1 + m2) = $ {\frac{4\pi^2 a^3}{GP^2}}$

Como G = 6, 67×10-11 m3 kg-1 s-2 e P= 1 ano = 3, 16×107 s, obtemos

mSol + mTerra = Msol= 2×1030 kg

Exemplo 3: Duas estrelas idênticas ao Sol giram uma em torno da outra a uma distância de 0,1 UA. Qual o período de revolução das estrelas?

2M$ \odot$ = $ {\frac{{{(0,1 UA)}^3}}{{P^2}}}$$ \Longrightarrow$P = $ \sqrt{{0,001 \over 2}}$= 0, 022 anos

Segunda Lei de Kepler = Conservação do momentum angular

phi

A área descrita por um corpo que se move d\phié dada por:

A = (1/2)rrd\phi

Em um tempo dt:

\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2 \frac{d\phi}{dt}

O momentum angular é definido como:

$\ell=\vert\vec{r}\times m\vec{v}\vert=mr\frac{d\phi}{dt}r=mr^2\frac{d\phi}{d t}$

Portanto

$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\frac{\ell}{m}$

que é constante porque o momentum angular e a massa são constantes.

Um pouco mais de história:

HuygensChristiaan Huygens (1629-1695), na foto ao lado, que também construía seus telescópios, descobriu em 1655 o satélite Titan de Saturno, e que as "extensões laterais" de Saturno descobertas por Galileo em 1610 eram na verdade anéis ( De Saturni Luna Observatio Nova, 1656 e Sistema Saturnia, 1659). Em 1656 inventou o relógio de pêndulo, e o patenteou no ano seguinte. Em 1673 publicou o Oscillatorium Horologium, no qual explicou o movimento do pêndulo e descreveu a força centrípeta.

Em sua próprias palavras, Newton, como citado no prefácio do catálogo dos Portsmouth Papers, descreve como utilizou as Leis de Kepler para derivar a gravitação universal. "In the year 1665, I began to think of gravity extending to the orb of the Moon, and having found out how to estimate the force with which [a] globe revolving within a sphere presses the surface of the sphere, from Kepler's Rule of the periodical times being in a sesquialterate proportion of their distances from the centers of their orbs I deduced that the forces which keep the Planets in their orbs must [be] reciprocally as the squares of their distances from the centers about which they revolve: and thereby compared the force requisite to keep the Moon in her orb with the force of gravity at the surface of the earth, and found them answer pretty nearly."

Em 1668 Newton construiu um telescópio refletor, usado atualmente em todos os observatórios profissionais, com um espelho curvo ao invés de uma lente, usadas nos telescópios refratores de Galileo e Kepler. O telescópio de Galileo, construído em 1609 era composto de uma lente convexa e uma lenta côncava. Kepler, no livro Diopitrice, publicado em 1611, explicou que seria melhor construir um telescópio com duas lentes convexas, como se usa atualmente. A explicação de Newton da decomposição da luz branca, mostrando que a luz branca é a combinação de luz de cores diferentes, cada uma com seu indice de refração, é a base da espectroscopia.

 

 

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