A Braquistócrona

Objetivo

Demonstrar que o caminho mais rápido entre dois pontos, para um objeto sob a ação de uma força constante, é uma ciclóide.

Descrição

A trajetória que usa o menor tempo entre dois pontos, sob uma força gravitacional constante é uma ciclóide. Essa é a curva traçada por um ponto da borda de uma roda que rola sem deslizar. Uma curva com essa propriedade é chamada pelo belo nome de braquistócrona, que vem do grego e significa simplesmente "curva de tempo mínimo".
Para demonstrar que, realmente, a ciclóide é uma braquistócrona, use três peças longas de borracha e prenda-as sobre uma prancha de madeira. Uma delas deve ser reta, outra deve ser uma ciclóide e a terceira uma hipérbole. Para traçar essas curvas sobre a prancha, use as fórmulas ou as tabelas dadas no fim dessa página.
Cole as tiras de borracha ou prenda-as com taxinhas. Ponha a prancha sobre uma mesa, inclinando-a um pouco, apoiando a parte de cima com um livro grosso, por exemplo. Solte, ao mesmo tempo, duas bolinhas de gude ("bilas") de vidro ou aço, uma pela reta e outra pela ciclóide. Essa última deverá chegar primeiro ao fim da trajetória. Depois solte as bolinhas pela ciclóide e pela hipérbole. Novamente, a bolinha da ciclóide deve ganhar a corrida. Mude o ângulo de inclinação e repita a experiência.

Análise

O problema da braquistócrona - isto é, achar a curva de menor tempo de viagem entre dois pontos para um objeto sob uma força gravitacional constante - foi resolvido por John Bernoulli, no início do século 18. John Bernoulli fazia parte de uma família de matemáticos e físicos que deram muitas contribuições à ciência. A conhecida lei de Bernoulli, da hidrodinâmica, foi demonstrada por Daniel, filho desse John da braquistócrona (que nome, heim?).
Demonstrar, matematicamente, que a ciclóide é uma braquistócrona, envolve uma técnica matemática chamada cálculo variacional da qual não trataremos aqui. Basta a demonstração experimental.
Para armar a ciclóide e a hipérbole sobre a prancha você pode usar as equações que damos a seguir ou as tabelas mostradas no fim dessa página.
A ciclóide é descrita pelas equações paramétricas :

x = - sen() e y = 1 - cos()

e a equação da hipérbole é simplesmente y = 1/x.
Nas tabelas dadas no fim da página, os valores de X e Y são genéricos. Isto é, se você achar mais conveniente, pode multiplicar ou dividir todos os valores pelo mesmo fator, para ajustá-los às dimensões de sua prancha.

Material

Prancha de madeira.
Tiras de borracha que podem ser compradas em lojas de peças de carro. Existem umas tiras usadas para vedar portas de carro que podem servir. Se preferir, embora seja mais trabalhoso, faça as curvas de madeira ou alumínio.
Bolinhas de gude, de preferência de aço.

Dicas

Procure ler sobre a braquistócrona em alguma enciclopédia, para ilustrar sua apresentação. A vida dos Bernoulli é cheia de lances curiosos que você pode contar durante sua experiência ou em um folheto anexo. Leia também sobre a ciclóide, que é uma curva muito interessante. Pergunte ao seu professor de matemática sobre ela.
Para traçar a ciclóide e a hipérbole use um papel milimetrado e a tabela acima. A reta todo mundo sabe traçar. Ponha o papel sobre a prancha, com um carbono por baixo, marque os pontos e una-os com curvas, passando os traços para a prancha.
Quanto maior a prancha melhor o efeito, pois as bolinhas demorarão um pouco mais a descrever as curvas. Inicialmente ponha a prancha apenas um pouco inclinada, em relação ao plano da mesa. Faça a experiência com essa pequena inclinação e depois repita-a com inclinações maiores. Como o resultado é sempre o mesmo, isto é, a ciclóide ganha todas, fica demonstrado que o mesmo ocorreria se a prancha estivesse na vertical. Talvez dê para fazer a experiência com a prancha na vertical, mas nesse caso as bolinhas caem muito ligeiro.
Antes de fazer a experiência pergunte aos espectadores o que eles esperam ver como resultado. Provavelmente muitos vão dizer que a hipérbole deve ganhar a corrida, já que é a curva mais íngreme. Outros dirão que a reta deve ganhar, já que é a curva de distância mínima. Esses ficarão surpresos com o resultado da experiência.

CICLÓIDE
X	Y
0	2000
1	1998
5	1951
17	1891
41	1809
78	1707
133	1588
209	1454
306	1309
426	1156
571	1000
740	844
934	691
1151	546
1390	412
1649	293
1925	191
2216	109
2518	49
2828	12
3142	0

HIPÉRBOLE
X	Y
0	2000
1	1988
5	250
17	74
41	32
78	16
133	10
209	6
306	4
426	3
571	2
740	2
934	1
1151	1
1390	1
1649	1
1925	1
2216	1
2518	1
2828	0
3142	0